Question

1．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC、BD交于点O，OA=3，OB=4，OP=6，OP⊥底面ABCD，点满足$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PC}$，t∈（0，1）．
（1）当t=$\frac{1}{2}$时，证明：PA∥平面BDM．
（2）若二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$，问：符合条件的点M是否存在．若存在，求出t的值．若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面BDM．
（2）求出平面ABC的法向量和平面ABM的法向量，利用向量法能求出二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$，符合条件的点M存在，t=$\frac{3}{4}$．

解答 证明：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（0，4，0），C（-3，0，0），D（0，-4，0），P（0，0，6），
$\overrightarrow{PA}$=（3，0，-6），$\overrightarrow{DB}$=（0，8，0），
当t=$\frac{1}{2}$时，M（-$\frac{3}{2}$，0，3），∴$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{3}{2}$，4，-3），
设平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=8y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MB}=\frac{3}{2}x+4y-3z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{n}$=6+0-6=0，且PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
解：（2）平面ABC的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
设M（a，0，b），代入$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{PC}$，得（a，0，b-6）=t（-3-a，0，-b），
解得a=-$\frac{3t}{1+t}$，b=$\frac{6}{1+t}$，∴M（-$\frac{3t}{1+t}$，0，$\frac{6}{1+t}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-3，4，0），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{6t+3}{1+t}$，0，$\frac{6}{1+t}$），
设平面ABM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-3{x}_{1}+4{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=-\frac{6t+3}{1+t}x+\frac{6}{1+t}z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{m}$=（4，3，4t+2），
∵二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{π}{4}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{4t+2}{\sqrt{25+（4t+2）^{2}}}$，
由t∈（0，1），解得t=$\frac{3}{4}$．
∴二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$，符合条件的点M存在，t=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．