Question

6．设函数f（x）=e^x（1+lnx）．
（Ⅰ）求曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）证明：e²f（x）＞e-$\frac{2{e}^{x}}{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出切点坐标，求出函数的导数，计算斜率，代入直线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为证e²•x（1+lnx）＞$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，设g（x）=e²•x（1+lnx），（x＞0），h（x）=$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，（x＞0），根据函数的单调性分别求出g（x）的最小值和h（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（1）=e（1+0）=e，所以切点坐标为（1，e）------------------------------（1分）
又f′（x）=e^x（1+lnx+$\frac{1}{x}$），----------------------------------------（3分）
所以f′（1）=e（1+1+0）=2e，即切线斜率为2e，------------------------------------（4分）
因此切线方程为y-e=2e（x-1），即2ex-y-e=0--------------------------------（5分）
（Ⅱ）要证e²f（x）＞e-$\frac{{2e}^{x}}{x}$，即证e²•e^x（1+lnx）＞e-$\frac{{2e}^{x}}{x}$，
由于x＞0，e^x＞0，所以即证e²•x（1+lnx）＞$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2----------------------------（7分）
设g（x）=e²•x（1+lnx），（x＞0），h（x）=$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，（x＞0），
则g′（x）=e²（2+lnx），
当0＜x＜e^-2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x＞e^-2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
故g（x）_min=g（e^-2）=-1，即g（x）≥-1，当x=e^-2时等号成立；---------------------------------------------------（9分）
又h′（x）=$\frac{e（1-x）}{{e}^{x}}$，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）单调递减
故h（x）_max=h（1）=-1，
即h（x）≤-1，当x=1时等号成立；-------------------------------------------------（11分）
所以g（x）＞h（x）在（0，+∞）上恒成立，
即e²•x（1+lnx）＞$\frac{xe}{{e}^{x}}$-2，
故e²f（x）＞e-$\frac{2{e}^{x}}{x}$．------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．