Question

8．设定义在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的函数f（x）=xsinx+cosx，则不等式f（2x）＜f（x-1）的解集是（　　）

• A． （-1，$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，-1）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． [1-$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{3}$）
• D． （-1，$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的单调性，结合函数的奇偶性得到关于x的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
x∈[-$\frac{π}{2}$，0）时，cosx＞0，f′（x）＜0，
x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，cosx≥0，f′（x）≥0，
故f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0）递减，在（0，$\frac{π}{2}$]递增，
而f（-x）=xsinx+cosx=f（x），f（x）是偶函数，
不等式f（2x）＜f（x-1），
即|2x|＜|x-1|，解得：-1＜x＜$\frac{1}{3}$，
而$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}≤2x≤\frac{π}{2}}\\{-\frac{π}{2}≤x-1≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得：1-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{4}$，
综上，1-$\frac{π}{2}$≤x＜$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，是一道中档题．