Question

20．已知P为△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．现将一粒黄豆随机洒在△ABC内，则黄豆落在△BPC内的概率为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边AB上的中线CO的靠近C的三等分点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案

解答 解：以PB、PA为邻边作平行四边形PADB，则$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$，
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=-4$\overrightarrow{PC}$，得$\overrightarrow{PD}=-4\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PO}=-4\overrightarrow{PC}$，即$\overrightarrow{PO}=-2\overrightarrow{PC}$，
由此可得，P是△ABC边AB上的中线CO的一个三等分点，
点P到AB的距离等于C到AB的距离的$\frac{2}{3}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_△OBP．
将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{6}$
故答案为：$\frac{1}{6}$

点评 本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识．