题目内容
如图1，Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）由平面ABD⊥平面BDC，交线为BD，AE⊥BD于F，AE?平面ABD，能证明AE⊥平面BCD．
（2）以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量和平面ADC的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
（2）以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量和平面ADC的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值．
解答：
（1）证明：∵平面ABD⊥平面BDC，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于F，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）得AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意得EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，
分别以EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1，
由图1条件计算得AE=
，BC=2
，EF=
，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，
），
F（
，0，0），C（
，2，0），
=（
，1，0），
=（0，1，-
），
由AE⊥平面BCD，得平面BCD的法向量为
=（0，0，
），
设平面ADC的一个法向量为
=（x，y，z），
则
，取z=1，得
=（-1，
，1），
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴二面角A-DC-B的余弦值为
．
又在△ABD中，AE⊥BD于F，AE?平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（2）解：由（1）得AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意得EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，
分别以EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=BD=DC=AD=2，则BE=ED=1，
由图1条件计算得AE=
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，
| 3 |
F（
| ||
| 3 |
| 3 |
| DC |
| 3 |
| AD |
| 3 |
由AE⊥平面BCD，得平面BCD的法向量为
| EA |
| 3 |
设平面ADC的一个法向量为
| n |
则
|
| n |
| 3 |
∴cos＜
| n |
| EA |
| ||||
|
|
| ||
| 5 |
∴二面角A-DC-B的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系与性质的合理运用，是中档题．
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