Question

已知a＞0，f（log_ax）=

a

a2-1

（x-x^-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性与单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-2m）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）换元法：令t=log_ax，则x=a^t，代入函数式可得解析式，利用奇偶函数的定义可判断；
（2）利用函数的奇偶性的定义进行判断，分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，利用指数函数的单调性可作出判断；
（3）利用函数的单调性和奇偶性进行求解．

解答： （本题13分）解：（1）令log_a^x=t则x=a^t，
∴f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-a-t)；
（2）∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
当a＞1时，a^-x递减，-a^-x递增，a^x递增，所以a^x-a^-x递增，
又

a

a2-1

＞0，所以f（x）在R上递增；
当0＜a＜1时，a^-x递增，-a^-x递减，且a^x递减，所以a^x-a^-x递减，
又

a

a2-1

＜0，故此时f（x）递增；
综上，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上递增．
（3）f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
∵f（x）为奇函数，且是增函数
∴f（1-m）＜（2m-1）
∴

1-m＜2m-1 -1＜1-m＜1 -1＜2m-1＜1

，
解得：

2

3

＜m＜1．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属中档题．