题目内容
已知三点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosx，sinx）．
（1）若x∈R，求|
|的最大值和最小值；
（2）若x≠
，k∈Z，且
⊥
，求
的值．
（1）若x∈R，求|
| AC |
（2）若x≠
| kπ |
| 4 |
| AC |
| BC |
| 1+sin2x-cos2x |
| 1+tanx |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用数量积运算和余弦函数的单调性即可得出；
（2）利用向量垂直与数量积的关系、三角函数恒等变换即可得出．
（2）利用向量垂直与数量积的关系、三角函数恒等变换即可得出．
解答：
解：（1）∵
=(cosx-3，sinx)，
∴|
|=
=
，
∵x∈R，∴cosx∈[-1，1]，
当cosx=-1时，|
|取得最大值4，
当cosx=-时，|
|取得最小值2．
（2）∵
⊥
，
∴
•
=（cosx-3，sinx）•（cosx，sinx-3）=cosx（cosx-3）+sinx（sinx-3）=1-3cosx-3sinx=0，
化为sinx+cosx=
．
两边平方可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=
，即2sinxcosx=-
，
∴
=
=2sinxcosx=-
．
| AC |
∴|
| AC |
| (cosx-3)2+sin2x |
| 10-6cosx |
∵x∈R，∴cosx∈[-1，1]，
当cosx=-1时，|
| AC |
当cosx=-时，|
| AC |
（2）∵
| AC |
| BC |
∴
| AC |
| BC |
化为sinx+cosx=
| 1 |
| 3 |
两边平方可得sin2x+cos2x+2sinxcosx=
| 1 |
| 9 |
| 8 |
| 9 |
∴
| 1+sin2x-cos2x |
| 1+tanx |
=
| (cosx+sinx)2-(cosx-sinx)(cosx+sinx) | ||
|
=2sinxcosx=-
| 8 |
| 9 |
点评：本题考查了数量积运算、余弦函数的单调性、向量垂直与数量积的关系、三角函数恒等变换，考查了计算能力，属于中档题．
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