题目内容
甲、乙、丙三名大学参加某单位招聘考试，成绩合格可获得面试的资格，甲同学表示成绩合格就去参加面试，而乙、丙二人约定：两人成绩都合格才一同参加面试，否则都不参加．设每人成绩合格的概率均为
，求：
（Ⅰ）三人中至少有一人成绩合格的概率；
（Ⅱ）去参加面试的人数ξ的分布列和数学期望．
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）三人中至少有一人成绩合格的概率；
（Ⅱ）去参加面试的人数ξ的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙成绩合格．由题意知A、B、C相互独立，且P（A）=P（A）=P（C）=
，由此能求出至少有一人成绩合格的概率．
（Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出去参加面试的人数ξ的分布列和数学期望．
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出去参加面试的人数ξ的分布列和数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙成绩合格．由题意知A、B、C相互独立，
且P（A）=P（A）=P（C）=
，…（1分）
至少有一人成绩合格的概率是：
1-P（
）=1-P（
）P（
）P（
）
=1-（
）3=
．…（4分）
（Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3 …（5分）
P（ξ=0）=P（A
）+P（
C）+P（
）
=
×(
)2+(
)2×
+(
)3=
，…（6分）
P（ξ=1）=P（
B
）+P（
BC）+P（AB
）
=(
)2×
+
×(
)2+(
)2×
=
，…（7分）
P（ξ=2）=P（A
C）=(
)2×
=
，…（8分）
P（ξ=3）=P（ABC）=(
)3=
，…（9分）
所以ξ的分布列为
…（11分）
ξ的数学期望为Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．…（13分）
且P（A）=P（A）=P（C）=
| 2 |
| 3 |
至少有一人成绩合格的概率是：
1-P（
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
=1-（
| 1 |
| 3 |
| 26 |
| 27 |
（Ⅱ）ξ的可取值为0，1，2，3 …（5分）
P（ξ=0）=P（A
. |
| B |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| B |
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
=
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 27 |
P（ξ=1）=P（
. |
| A |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| C |
=(
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 27 |
P（ξ=2）=P（A
. |
| B |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 27 |
P（ξ=3）=P（ABC）=(
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
所以ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
ξ的数学期望为Eξ=0×
| 5 |
| 27 |
| 10 |
| 27 |
| 4 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 14 |
| 9 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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