题目内容

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）$（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}，x∈R）$的图象如图所示，令g（x）=f（x）+f'（x），则下列关于函数g（x）的说法中不正确的是（　　）
A．函数g（x）图象的对称轴方程为$x=kπ-\frac{π}{12}（k∈Z）$
B．函数g（x）的最大值为$2\sqrt{2}$
C．函数g（x）的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：y=3x-1平行
D．方程g（x）=2的两个不同的解分别为x1，x2，则|x1-x2|的最小值为$\frac{π}{2}$

分析 根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，求出f′（x），写出g（x）=f（x）+f′（x）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．

解答 解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象知，
A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=2π，ω=$\frac{2π}{T}$=1；
根据五点法画图知，
当x=$\frac{π}{6}$时，ωx+φ=$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）；
∴f′（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=f（x）+f′（x）
=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+2cos（x+$\frac{π}{3}$）
=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{7π}{12}$）；
令x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得x=-$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函数g（x）的对称轴方程为x=-$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，A正确；
当x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z时，函数g（x）取得最大值2$\sqrt{2}$，B正确；
g′（x）=2$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{7π}{12}$），
假设函数g（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得在P点处的切线与直线l：y=3x-1平行，
则k=g′（x0）=2$\sqrt{2}$cos（x0+$\frac{7π}{12}$）=3，
解得cos（x0+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{3}{2\sqrt{2}}$＞1，显然不成立，
所以假设错误，即C错误；
方程g（x）=2，则2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{7π}{12}$）=2，
∴sin（x+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{π}{4}$+2kπ或x+$\frac{7π}{12}$=$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z；
∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，
|x1-x2|的最小值为$\frac{π}{2}$，D正确．
故选：C．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，也考查了导数的应用以及命题真假的判断问题，是难题．

练习册系列答案
相关题目
5．已知数列{an}是首项为正数的等差数列，a1•a2=3，a2•a3=15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（an+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{bn}的前n项和Tn．
6．在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$，则$\overrightarrow{BE}$在$\overrightarrow{AD}$方向上的投影$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
3．天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义．某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关．
（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1，2，3，4，表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
求由随机模拟的方法得到的概率值；
（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x（单位：毫米）与其出售的快餐份数y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：
降雨量（毫米）12345
快餐数（份）5085115140160
试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）
附注：回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}}-\overline x{）^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．
10．若$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，则sinα的值为（　　）
A．$\frac{{4-\sqrt{2}}}{6}$B．$\frac{{4+\sqrt{2}}}{6}$C．$\frac{7}{18}$D．$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
20．设函数f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）=m有两解x1，x2（x1＜x2），证明x1+x2＞2a．
7．函数$y=2sin（{\frac{π}{4}-2x}）$的单调增区间是[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
4．如图，在四棱锥P-ABC中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BCPA=AB=BC=CD=2，PD=2$\sqrt{3}$，PA⊥PD，Q为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥Q-ACD的体积．
17．已知P是圆x2+y2=1上的一动点，AB是圆（x-5）2+（y-12）2=4的一条动弦（A，B是直径的两个端点），则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围是[140，192]．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网