Question

10．若$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，则sinα的值为（　　）

• A． $\frac{{4-\sqrt{2}}}{6}$
• B． $\frac{{4+\sqrt{2}}}{6}$
• C． $\frac{7}{18}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由已知利用两角和的余弦函数公式可求cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+sinα，结合同角三角函数基本关系式可求2sin²α+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinα-$\frac{7}{9}$=0，进而解得sinα的值．

解答 解：∵$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{3}$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，可得：sinα＞0，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα=$\frac{1}{3}$，可得：cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+sinα，
又∵sin²α+cos²α=1，可得：sin²α+（$\frac{\sqrt{2}}{3}$+sinα）²=1，整理可得：2sin²α+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinα-$\frac{7}{9}$=0，
∴解得：sinα=$\frac{4-\sqrt{2}}{6}$，或-$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$（舍去）．
故选：A．

点评 本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．