Question

4．如图，在四棱锥P-ABC中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BCPA=AB=BC=CD=2，PD=2$\sqrt{3}$，PA⊥PD，Q为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥Q-ACD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN．由三角形中位线定理可得NQQN∥AD，且QN=$\frac{1}{2}$AD．求解直角三角形可得BC=$\frac{1}{2}$AD，由已知得BC∥AD，从而得到QN∥BC，且QN=BC，故四边形BCQN为平行四边形，有BN∥CQ．再由线面平行的判定可得CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）在Rt△PAD中，过P作PE⊥AD，垂足为E，由面面垂直的旋转轴可得PE⊥平面ABCD，利用等面积可求PE，求出设计出ACD的面积，代入体积公式可得三棱锥Q-ACD的体积．

解答 （Ⅰ）证明　如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN．
在△PAD中，PN=NA，PQ=QD，
∴QN∥AD，且QN=$\frac{1}{2}$AD．
在△APD中，PA=2，PD=2$\sqrt{3}$，PA⊥PD，
∴AD=$\sqrt{P{A}^{2}+P{D}^{2}}$=4，而BC=2，则BC=$\frac{1}{2}$AD．
又BC∥AD，∴QN∥BC，且QN=BC，
故四边形BCQN为平行四边形，∴BN∥CQ．
又BN?平面PAB，且CQ?平面PAB，
∴CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）解：在Rt△PAD中，过P作PE⊥AD，垂足为E，
∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，
由PA•PD=AD•PE，得PE=$\frac{PA•PD}{AD}=\sqrt{3}$．
底面等腰三角形ABCD中，由AB=BC=2，AD=4，得等腰梯形的高为$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
又Q为PD的中点，
∴${V}_{Q-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．