Question

3．天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义．某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关．
（Ⅰ）天气预报说，在今后的三天中，每一天降雨的概率均为40%，该营销部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天降雨的概率，利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，并用1，2，3，4，表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
求由随机模拟的方法得到的概率值；
（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小x（单位：毫米）与其出售的快餐份数y成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：

降雨量（毫米）	1	2	3	4	5
快餐数（份）	50	85	115	140	160

试建立y关于x的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）
附注：回归方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}}-\overline x{）^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）找出上述随机数中满足条件的数据，计算对应概率值；
（Ⅱ）计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程，利用回归方程计算x=6时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）上述20组随机数中恰好含有1，2，3，4中的两个数的有
191  271  932  812  393，共5个，
所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为
$P=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）由题意可知$\overline x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，
$\overline{y}=\frac{50+85+115+140+160}{5}=110$，
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{275}{10}=27.5$，
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=27.5$；
所以，y关于x的回归方程为：$\hat y=27.5x+27.5$．
将降雨量x=6代入回归方程得：$\hat y=27.5×6+27.5=192.5≈193$．
所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题．