Question

已知数列{a_n}满足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1．
（1）证明{

1

an

}是等差数列；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，求{b_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}满足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1．变形为

1

an+1

-

1

an

=2，即可证明．
（2）由（1）可得：

1

an

=2n-1，a_n=

1

2n-1

．于是b_n=a_n•a_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： 证明：（1）∵数列{a_n}满足a_n=a_n+1+2a_n•a_n+1，且a₁=1．
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴{

1

an

}是等差数列，首项为

1

a1

=1；
（2）解：由（1）可得：

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，∴a_n=

1

2n-1

．
∴b_n=a_n•a_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴{b_n}的前n项的和S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．