Question

已知

OA

=（x+

5

，y），

OB

=（x-

5

，y），且|

OA

|+|

OB

|=6，则|2x-3y-12|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用向量模的公式，结合椭圆的定义，求得点（x，y）的轨迹方程，求出椭圆的参数方程，运用两角差的正弦公式，计算即可得到最大值．

解答： 解：由于

OA

=（x+

5

，y），

OB

=（x-

5

，y），
则|

OA

|+|

OB

|=6，
即为

(x+ 5 )2+y2

+

(x- 5 )2+y2

=6，
表示点（x，y）与点E（-

5

，0）和F（

5

，0）的距离之和为6，
由椭圆的定义，由6＞2

5

，可得点（x，y）在以E，F为焦点，长轴长为6的椭圆上，
即有a=3，c=

5

，b=2，
方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
可令x=3cosα，y=2sinα（0≤α＜2π）．
则|2x-3y-12|=|6cosα-6sinα-12|=|6

2

sin（α-

π

4

）-12|=12-6

2

sin（α-

π

4

），
当sin（α-

π

4

）=-1即α=

7π

4

时，取得最大值12+6

2

．
故答案为：12+6

2

．

点评：本题考查椭圆的定义和方程，考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的化简和求值，考察运算能力，属于中档题．