Question

已知在数列{a_n}和{b_n}中，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S_n+n²=n（a_n+1），b_n=a_2n-1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意和数列的前n项和S_n与a_n关系式，得n≥2时，S_n-1+（n-1）²=（n-1）（a_n-1+1），两式相减再化简后，利用等差数列的定义判断，由等差数列的定通项公式求出a_n，代入b_n=a_2n-1化简即可．

解答： 解：由题意知，S_n+n²=n（a_n+1），
则n≥2时，S_n-1+（n-1）²=（n-1）（a_n-1+1），
两式相减可得（n-1）a_n-（n-1）a_n-1-2n+2=0，
即（n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又n≥2，则n-1≥1，所以a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是1为首项、2为公差的等差数列，
则a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
所以b_n=a_2n-1=2（2n-1）-1=4n-3，
则数列{b_n}的通项公式是b_n=4n-3．

点评：本题考查等差数列的定义、通项公式，数列的前n项和S_n与a_n关系式，考查化简、变形能力，属于中档题．