Question

甲、乙、丙三名同学同时参加高中数学竞赛，甲、乙、丙三名同学分别获得一等奖的概率分别为

1

2

，a，a（0＜a＜1），甲、乙、丙三名同学参加这次高中数学竞赛获得一等奖的人数记为ξ．
（1）若a=

1

3

时，求 甲、乙、丙三名同学获得一等奖人数不少于两人的概率．
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）P（ξ）是“ξ个人获得一等奖”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3．由此能求出甲、乙、丙三名同学获得一等奖人数不少于两人的概率．
（2）P（ξ）是“ξ个人获得一等奖”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3，由此能求出若P（ξ=1）的值最大，实数a的取值范围．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）P（ξ）是“ξ个人获得一等奖”的概率．
其中ξ的可能取值为0，1，2，3．
P(ξ=2)=2•

1

2

•

1

3

•

2

3

+(1-

1

2

)•

1

3

•

1

3

=

5

18

，
P(ξ=3)=

1

2

•

1

3

•

1

3

=

1

18

．
P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

1

3

…．（5分）
（2）P（ξ）是“ξ个人获得一等奖”的概率．
其中ξ的可能取值为0，1，2，3．
P(ξ=0)=(1-

1

2

)(1-a)2=

1

2

(1-a)2，
P(ξ=1)=

1

2

(1-a)2+(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，
P(ξ=2)=

1

2

C

1 2

a(1-a)+(1-

1

2

)a2=

1

2

(2a-a2)，P(ξ=3)=

1

2

a2=

a2

2

.P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

．
由

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

和0＜a＜1，
得0＜a≤

1

2

，即a的取值范围是(0，  

1

2

]．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．