Question

19．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2cos²$\frac{x}{2}$．
（I）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（II）若f（B）=3，在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=3，sinC=2sin A，求a，c的值．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性得出结论．
（II）在△ABC中，由f（ B）=3，求得B的值，由由sinC=2sinA及正弦定理求得c=2a；再根据b=3及余弦定理求得a的值，可得c的值．

解答 解：（I）由已知可得：$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx+1=2sin（{x+\frac{π}{6}}）+1$，
所以f（x）的最小正周期为2π．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z，得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{4π}{3}$，k∈Z．
因此函数f（x）的单调递减区间为$[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]$，k∈Z．
（II）在△ABC中，若f（ B）=3，求得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，故 ${B}=\frac{π}{3}$．
由sinC=2sinA及$\frac{a}{{sin{A}}}=\frac{c}{sinC}$，得c=2a．
由b=3及余弦定理b²=a²+c²-2accos B，得9=a²+c²-ac，将c=2a代入得，
求得$a=\sqrt{3}$，故 $c=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．