Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），且经过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C相切，过F作FQ⊥l，垂足为Q，求证：|OQ|为定值（其中O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）由短轴和准线方程求出b和a的值，据焦点在x轴上写出椭圆的方程．
（2）分切点为椭圆长轴两个顶点和不是椭圆长轴两个顶点，当切点不过椭圆长轴两个顶点时，设出切线方程y=kx+m，联立切线方程和椭圆方程，由判别式等于0得到k与m的关系，再求出FQ所在直线方程，联立两直线方程求得Q的坐标，由两点间的距离公式可得|OQ|为定值2．

解答 （1）解：由题意知，$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{45}{16{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：当直线l过椭圆长轴两个顶点时，Q与顶点重合，此时|OQ|=2；
当直线l不过椭圆长轴两个顶点时，设切线方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=0，得m²=4k²+3．
∵F（1，0），且FQ⊥l，
∴FQ所在直线方程为y=$-\frac{1}{k}（x-1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\end{array}\right.$，解得Q（$\frac{1-km}{1+{k}^{2}}，\frac{k+m}{1+{k}^{2}}$），
∴|OQ|=$\sqrt{（\frac{1-km}{1+{k}^{2}}）^{2}+（\frac{k+m}{1+{k}^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1-2km+{k}^{2}{m}^{2}+{k}^{2}+2km+{m}^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（1+{m}^{2}）}{（1+{k}^{2}）^{2}}}=\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+4}{1+{k}^{2}}}=2$．
故|OQ|为定值2．

点评 本题考查椭圆的方程、直线和圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．