Question

8．设-$\sqrt{2}$≤a≤$\sqrt{2}$，b≠0，a，b∈R，则（a-b）²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$-$\frac{9}{b}$）²的最小值为8．

Answer 1

分析 将式子（a-b）²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$-$\frac{9}{b}$）²可以看成：动点P（a，$\sqrt{2-{a}^{2}}$）与动点Q（b，$\frac{9}{b}$）之间距离的平方，再结合几何意义求最小值．

解答 解：式子（a-b）²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$-$\frac{9}{b}$）²可以看成：
动点P（a，$\sqrt{2-{a}^{2}}$）与动点Q（b，$\frac{9}{b}$）之间距离的平方，其中，
点P在半圆x²+y²=2（y≥0）上，圆心为O，半径r=$\sqrt{2}$，
点Q在双曲线xy=9上，如右图，
根据基本不等式，|OQ|=$\sqrt{b^2+\frac{81}{b^2}}$≥3$\sqrt{2}$，
所以，|PQ|_min=|OQ|_min-r=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$，
因此，原式的最小值为：（3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$）²=8，
故填：8．

点评 本题主要考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了数形结合思想和转化思想、推理能力与计算能力，属于中档题．