Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（2）=-1
（Ⅰ）求f（1）和f(

1

4

)的值；
（Ⅱ）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）求满足f（4x³-12x²）+2＞f（18x）的x的取值集合．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）求f（1），f（

1

4

）的值只需令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得f（1）；同理求出f（9），令x=9，xy=1，代入等式即可求得答案；
（Ⅱ）证明f（x）在R⁺是减函数；取定义域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂然后根据关系式f（xy）=f（x）+f（y），证明f（x₁）＞f（x₂）即可；
（Ⅲ）由（1）的结果可将不等式f（4x³-12x²）+2＞f（18x）转化成f（x³-3x²）＞f（18x），再根据单调性，列出不等式，解出取值范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0，
而f（4）=f（2）+f（2）=-1-1=-2，
且f（4）+f（

1

4

）=f（1）=0，则f（

1

4

）=2；
（Ⅱ）取定义域中的任意的x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴

x2

x1

＞1，
当x＞1时，f（x）＜0，
∴f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（Ⅲ）由条件①及（Ⅰ）的结果得，
∵f（4x³-12x²）+2＞f（18x），
∴f（4x³-12x²）+f（

1

4

）＞f（18x），
∴f（x³-3x²）＞f（18x），
∴

x3-3x2＞0 18x＞0 x3-3x2＜18x

解得3＜x＜6，
故x的取值集合为（3，6）

点评：本题主要考查抽象函数的一系列问题．其中涉及到函数单调性的证明，函数值的求解问题，属于综合性问题，涵盖知识点较多，属于中档题．