Question

12．已知函数$f（x）=4cosxsin（{x+\frac{π}{6}}）-1$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上函数值的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由调价利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（Ⅱ）由 x∈区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）由于函数$f（x）=4cosxsin（{x+\frac{π}{6}}）-1$=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）-1
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵x∈区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
函数的值域为[-1 2]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．