Question

2．在△ABC中，$∠A=\frac{π}{3}$，BC=3，点D在BC边上．
（1）若AD为∠A的平分线，且BD=1，求△ABC的面积；
（2）若AD为△ABC的中线，且AD=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得：$\frac{AB}{sin∠BDA}=\frac{BD}{{sin\frac{π}{6}}}$，$\frac{AC}{sin∠CDA}=\frac{CD}{{sin\frac{π}{6}}}$，相除得：AC=2AB，利用余弦定理可求AC，AB的值，根据三角形面积公式即可求值得解．
（2）由$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$，平方整理可得：AB²+AC²+AB•AC=27，又AB²+AC²-AB•AC=BC²=9，相减得AB•AC=9，解得AB=AC，又∠C=60°，即可得证．

解答 解：（1）在△ABD中，$\frac{AB}{sin∠BDA}=\frac{BD}{{sin\frac{π}{6}}}$，在△ACD中，$\frac{AC}{sin∠CDA}=\frac{CD}{{sin\frac{π}{6}}}$，
相除得：AC=2AB．  …3分
在△ABC中，$B{C^2}=A{B^2}+A{C^2}-2AB•ACcos\frac{π}{3}=3A{B^2}=9$，
∴AB=$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$…6分
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB•ACsin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…7分
（2）∵$\overrightarrow{AD}=\frac{{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}}{2}$，∴$A{D^2}=\frac{1}{4}（{A{B^2}+A{C^2}+2AB•ACcosA}）=\frac{1}{4}（{A{B^2}+A{C^2}+AB•AC}）$
∴AB²+AC²+AB•AC=27…9分
又AB²+AC²-AB•AC=BC²=9，
相减得AB•AC=9，…11分
∴AB²+AC²-AB•AC=9=AB•AC，∴（AB-AC）²=0
即：AB=AC，又∠C=60°，∴三角形ABC为等边三角形．…14分．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了平面向量的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．