Question

已知抛物线C₁：y²=8x与双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F₂，点A是曲线C₁、C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线C₂的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），A（x₀，y₀）在抛物线C1：y2=8x上，可得A的坐标，由此能求出双曲线的方程．
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=kx-2代入双曲线方程得（3-k²）x²+4kx-7=0，由此入手，能够求出的取值范围．

解答： 解：（1）∵抛物线C1：y2=8x的焦点为F₂（2，0），
∴双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），
设A（x₀，y₀）在抛物线C1：y2=8x上，且|AF₂|=5，
由抛物线的定义得，x₀+2=5，∴x₀=3，∴

y

2 0

=24，
∴

9 a2 - 24 b2 =1 a2+b2=4

∴

a2=1 b2=3

∴双曲线C₂的方程为：x2-

y2

3

=1．              …（5分）
（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直线l：y=kx-2代入双曲线方程得（3-k²）x²+4kx-7=0，则

3-k2≠0 △=16k2+28(3-k2)＞0 x1+x2= 4k k2-3 ＞0 x1x2= 7 k2-3 ＞0

解得

3

＜k＜

7

…①…（7分）
∵点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，则

HA

•

HB

＞0，
即

HA

•

HB

=(x1-7，y1)•(x2-7，y2)=(x1-7)•(x2-7)+y1y2=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53=(1+k2)•

7

k2-3

-(7+2k)•

4k

k2-3

+53=

7k2+7-8k2-28k+53k2-159

k2-3

＞0，解得k＞2…②
由①、②得实数k的范围是2＜k＜

7

，…（9分）
由已知λ=

S△AQH

S△BQH

=

|AQ|

|BQ|

，∵B在A、Q之间，则

QA

=λ

QB

，且λ＞1，
∴（x₁，y₁+2）=λ（x₂，y₂+2），则x₁=λx₂，∴

(1+λ)x2= 4k k2-3 λ x 2 2 = 7 k2-3

则

(1+λ)2

λ

=

16

7

•

k2

k2-3

=

16

7

(1+

3

k2-3

)，…（11分）
∵2＜k＜

7

，∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

64

7

，解得

1

7

＜λ＜7，且λ≠1
又λ＞1，∴1＜λ＜7．故λ的取值范围是（1，7）…（13分）

点评：本题考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．