Question

【题目】设正数、满足会且使得关于的不等式总有实数解.试求的取值范围.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，求出、应满足的条件.由原不等式得下列的各个等价形式：，两边同时平方并整理得. ①

令，则，代入式①得

，

即. ②

下面分3种情形讨论：

当时，式②变为，有解.

当，充分大时，式②有解.

当时，首先要求判别式，有，

即. ③

令.

由于，所以，方程有两个实根、.因为，所以，必有.又因为抛物线开口向上，所以，不等式在时总是有解.

综合上述得，、应满足的充分必要条件是， ④

即. ⑤

注意到式⑤与三角恒等式的“相似性”，

故令，.

则 ，

其中，.

令，则. ⑥

当时，由式⑥得，.

当时，由式⑥解得 .

若，则，

即

它等价于

即矛盾.

故这种情形不可能存在.从而，只有一种可能，

即.

于是，.

这时有两种可能：

（1）

或（2）

由（1）可解得，由（2）可解得.

综上可知，的取值范围是.

又，所以，的取值范围是，即能取遍中的每一个值（与是相互独立的）.