题目内容
【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为
万元.该建筑物每年的能源消耗费用
(单位:万元)与隔热层厚度
(单位:厘米)满足关系:
.若不建隔热层,每年的能源消耗费用为
万元.设
为隔热层建造费用与
年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及
的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用最小,并求其最小值.
【答案】(1),
(2)当隔热层修建
厘米厚时,总费用达到最小,且最小为
万元.
【解析】
(1)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x),若不建隔热层,每年能源消耗费用为
万元.我们可得C(0)=
,得k=36,进而得到
.建造费用为C1(x)=4x,则根据隔热层建造费用与16年的能源消耗费用之和为f(x),我们不难得到f(x)的表达式.
(2)由(1)中所求的f(x)的表达式,研究函数f(x)的单调性,然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值.
(1)由题意知:,代入
中得
,因此
,即
(2)由
令,则
,考察函数
在
的单调性知:当
时为减函数,当
时为增函数,
此时
即当隔热层修建厘米厚时,总费用达到最小,且最小为
万元.
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