Question

已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），g（x）=

1

2

x²-（m+

1

m

）x（m＞0），且y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，求m的取值范围；
（Ⅲ）设M（x，y）（x＞m+

1

m

）为两曲线y=f（x）+c（c∈R），y=g（x）的交点，且两曲线在交点M处的切线分别为l₁，l₂．若取m=1，试判断当直线l₁，l₂与x轴围成等腰三角形时c值的个数并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用函数在点（1，f（1））处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得a，b的值；
（Ⅱ）由h'（x）=0得(x-m)(x-

1

m

)=0，得两根为m，

1

m

，分当0＜m＜2≤

1

m

或0＜

1

m

＜2≤m两种情况讨论得出结论；
（Ⅲ）利用导数值与曲线斜率相等，及斜率与直线的倾斜角的关系，设两切线l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，
则tanα=f′(x)=

1

x

，tanβ=g′(x)=x-2，由题意可分α=2β，β=2α两种情况，逐一加以说明即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

+b，∴f'（1）=a+b=1，又f（1）=b=0，
∴a=1，b=0．                                   …（3分）
（Ⅱ）h(x)=lnx+

1

2

x2-(m+

1

m

)x；
∴h′(x)=

1

x

+x-(m+

1

m

)
由h'（x）=0得(x-m)(x-

1

m

)=0，
∴x=m或x=

1

m

．                               …（5分）
∵m＞0，当且仅当0＜m＜2≤

1

m

或0＜

1

m

＜2≤m时，函数h（x）在区间（0，2）内有且仅有一个极值点．                 …（6分）
若0＜m＜2≤

1

m

，即0＜m≤

1

2

，当x∈（0，m）时h'（x）＞0；当x∈（m，2）时h'（x）＜0，函数h（x）有极大值点x=m，
若0＜

1

m

＜2≤m，即m≥2时，当x∈(0，

1

m

)时h'（x）＞0；当x∈(

1

m

，2)时h'（x）＜0，函数h（x）有极大值点x=

1

m

，
综上，m的取值范围是{m|0＜m≤

1

2

或m≥2}．…（8分）
（Ⅲ）当m=1时，设两切线l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，
则tanα=f′(x)=

1

x

，tanβ=g′(x)=x-2，
∵x＞2，∴α，β均为锐角，…（9分）
当α＞β，即2＜x＜1+

2

时，若直线l₁，l₂能与x轴围成等腰三角形，则α=2β；当α＜β，即x＞1+

2

时，若直线l₁，l₂能与x轴围成等腰三角形，则β=2α．
由α=2β得，tanα=tan2β=

2tanβ

1-tan2β

，
得

1

x

=

2(x-2)

1-(x-2)2

，即3x²-8x+3=0，
此方程有唯一解x=

4+ 7

3

∈(2，1+

2

)，直线l₁，l₂能与x轴围成一个等腰三角形．…（11分）
由β=2α得，tanβ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

，
得x-2=

2• 1 x

1- 1 x2

，即x³-2x²-3x+2=0，
设F（x）=x³-2x²-3x+2，F'（x）=3x²-4x-3，
当x∈（2，+∞）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（2，+∞）单调递增，则F（x）在(1+

2

，+∞)单调递
增，由于F(

5

2

)＜0，且1+

2

＜

5

2

，所以F(1+

2

)＜0，则F(1+

2

)F(3)＜0，
即方程x³-2x²-3x+2=0在（2，+∞）有唯一解，直线l₁，l₂能与x轴围成一个等腰三角形．
因此，当m=1时，有两处符合题意，所以直线l₁，l₂能与x轴围成等腰三角形时，c值的个数有2个．                         …（14分）

点评：本题属导数的综合应用题，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的极值，理解掌握分类讨论的思想方法．．