题目内容

13．已知函数$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，若对任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m2-2tm+2恒成立，则实数t的取值范围是[$\frac{5}{4}$，+∞）．

分析 将问题转化为m2-2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，得不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的极小值即最小值是f（1）=1；
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以m2-2tm+2≤f（x）min=f（1）=1即m2-2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{1-2t+1≤0}\\{4-4t+1≤0}\end{array}\right.$，解得t≥$\frac{5}{4}$，
故答案为：[$\frac{5}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查了导数的应用，不等式恒成立问题，是一道中档题．

练习册系列答案
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（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大；
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2．过点A（-1，2）作曲线f（x）=x3-3x的切线，做多有（　　）
A．3条B．2条C．1条D．0条
3．已知函数$f（x）=\frac{1-a}{x}-ax+lnx（a∈R）$，g（x）=x3-2bx+3
（1）当$0≤a＜\frac{1}{2}$时，讨论f（x）的单调性；
（2）当$a=\frac{1}{4}$时，若对于任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]均有f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．

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