题目内容
10．高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生：（Ⅰ）得50分的概率；
（Ⅱ）得多少分的可能性最大；
（Ⅲ）所得分数ξ的数学期望．
分析 （Ⅰ）根据题意，该考生10道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案．
（Ⅱ）该考生选择题得分的可能取值有：30，35，40，45，50共五种．设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C．得分为30，表示只做对有把握的那4道题，其余各题都做错；得分为35时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的一题；得分为40时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的二题；得分为45时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的三题；得分为50时，表示10题全部做对，做出概率．
（Ⅲ）由题意知变量的可能取值分别是30，35，40，45，50，根据第二问做出的结果，写出离散型随机变量的分布列，根据期望的定义，即可求出期望
解答 解：（Ⅰ）得分为50分，10道题必须全做对．
在其余的四道题中，有两道题答对的概率为$\frac{1}{2}$，有一道题答对的概率为$\frac{1}{3}$，还有一道答对的概率为$\frac{1}{4}$，所以得分为5（0分）的概率为：P=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{48}$；
（Ⅱ）依题意，该考生得分的范围为{30，35，40，45，50}．
得分为30分表示只做对了6道题，其余各题都做错，所以概率为：P1=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{8}$．
同样可以求得得分为35分的概率为：P2=${C}_{2}^{1}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{17}{48}$．
得分为40分的概率为：P3=$\frac{17}{48}$； 得分为4（5分）的概率为：P4=$\frac{7}{48}$；
得分为50分的概率为：P5=$\frac{1}{48}$．
所以得35分或得40分的可能性最大；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知ξ的分布列为：
| ξ | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| P | $\frac{6}{48}$ | $\frac{17}{48}$ | $\frac{17}{48}$ | $\frac{7}{48}$ | $\frac{1}{48}$ |
点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，考查学生利用所学的知识解决实际问题的能力，是一个综合题目．
星级口算天天练系列答案
如图，菱形ABCD的中心为O，四边形ODEF为矩形，平面ODEF⊥平面ABCD，DE=DA=DB=2．第一档电量：用电量不超过200千瓦时，电价标准为0.5元/千瓦时；
第二档电量：用电量超过200但不超过400千瓦时，超出第一档电量的部分，电价标准比第一档电价提高0.1元/千瓦时；
第三档电量：用电量超过400千瓦时，超出第二档电量的部分，电价标准比第一档电价提高0.3元/千瓦时．随机调查了该市1000户居民，获得了他们某月的用电量数据，整理得到如表的频率分布表：
| 用电量（千瓦时） | [0，100] | （100，200] | （200，300] | （300，400] | （400，500] | 合计 |
| 频数 | 200 | 400 | 200 | b | 100 | 1000 |
| 频率 | 0.2 | a | 0.2 | 0.1 | c | 1 |
（Ⅱ）从该市调查的1000户居民中随机抽取一户居民，求该户居民用电量不超过300千瓦时的概率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该市每户居民该月的平均电费．
