Question

18．离心率为2的双曲线$M：{x^2}-\frac{y^2}{m}=1（{m＞0}）$上一点P到左、右焦点F₁，F₂的距离之和为10，则$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=18．

Answer 1

分析 利用双曲线的定义，结合P到左、右焦点F₁，F₂的距离之和为10，求出|PF₁|=6，|PF₂|=4，利用余弦定理求出cos∠F₁PF₂，即可得出结论．

解答 解：不妨设|PF₁|＞|PF₂|．
由题意，$\frac{\sqrt{1+m}}{1}$=2，∴m=3，
∴|PF₁|-|PF₂|=2，
∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|=6，|PF₂|=4，
∵|F₁F₂|=4，
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{3}{4}$
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=18．
故答案为：18．

点评 本题考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．