Question

4．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-alnx-\frac{1}{3}（a∈R，a≠0）$．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）的单调区间与极值．
（3）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=3代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a＜0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．
（3）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，只需对任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．分类讨论，求出最小值，即可求a的取值范围．

解答 解：当a=3时，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-3lnx-\frac{1}{3}，f（1）=0$
∴${f^/}（x）={x^2}-\frac{3}{x}$，∴f′（1）=-2，切点为（1，0）
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=（-2）×（x-1），即 2x+y-2=0．
（2）${f^/}（x）={x^2}-\frac{a}{x}=\frac{{{x^3}-a}}{x}（x＞0）$，
①当a＜0时，${f^/}（x）=\frac{{{x^3}-a}}{x}＞0$恒成立，∴函数y=f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间，无极值；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得$x=\root{3}{a}或x=-\root{3}{a}（舍）$x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	$（0，\root{3}{a}）$	$\root{3}{a}$	$（\root{3}{a}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）		极小值

∴函数y=f（x）的递增区间为$（\root{3}{a}，+∞）$，递减区间为$（0，\root{3}{a}）$，$f{（x）_{极小值}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}$．
综上：当a＜0时，函数y=f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间，无极值；
当a＞0时，函数y=f（x）的递增区间为$（\root{3}{a}，+∞）$，递减区间为$（0，\root{3}{a}）$，$f{（x）_{极小值}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}$．
（3）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，只需对任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
①当a＜0时，函数y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{3}-aln1-\frac{1}{3}=0$，∴a＜0满足题意；
②当0＜a≤1时，$0＜\root{3}{a}≤1$，函数y=f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{3}-aln1-\frac{1}{3}=0$，∴0＜a≤1满足题意；
③当a＞1时，$\root{3}{a}＞1$，函数y=f（x）在$（1，\root{3}{a}）$上是减函数，在$（\root{3}{a}，+∞）$上是增函数，
∴$f{（x）_{min}}=f（\root{3}{a}）=\frac{a-alna-1}{3}＜f（1）=0$，∴a＞1不满足题意．
综上，a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，属中档题．