Question

已知实数x，y分别满足：（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，则x2+4y2+4x的最小值是（ ）

A.0 B.26 C.28 D.30

 

Answer 1

C

【解析】

试题分析：由于（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，两式相加再利用乘法公式可得：

（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2]+2014（x+2y﹣6）=0．由于

（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2≥0，可得x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出．

【解析】
∵（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，

两式相加可得：（x﹣3）3+（2y﹣3）3+2014（x﹣3）+2014（2y﹣3）=0，

化为（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2]+2014（x+2y﹣6）=0，

∴（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2+2014]=0，

∵（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2≥0，

∴必有x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x得到

z=x2+（6﹣x）2+4x=2x2﹣8x+36=2（x﹣2）2+28≥28，

当且仅当x=2，y=2时取得最小值．

故选：C．