设数列{an}:1.-2.-2.3.3.3.-4.-4.-4.-4.-.k个(-1)k-1k.-.(-1)k-1k.即当(k-1)k2＜n≤k(k+1)2(k∈N+)时.an=(-1)k-1k.记Sn=a1+a2-+an(n∈N+).对于l∈N+.定义集合Pl={n|Sn是an的整数倍.n∈N+.且1≤n≤1}(1)求集合P11中元素的个数, (2)求集合P2000中元素的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设数列{a_n}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，

k个

(-1)k-1k，…，(-1)k-1k

，即当

(k-1)k

＜n≤

k(k+1)

（k∈N⁺）时，a_n=（-1）^k-1k，记S_n=a₁+a₂…+a_n（n∈N⁺），对于l∈N⁺，定义集合P_l={n|S_n是a_n的整数倍，n∈N⁺，且1≤n≤1}
（1）求集合P₁₁中元素的个数；
（2）求集合P₂₀₀₀中元素的个数．

考点：数列的应用,集合的包含关系判断及应用

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先确定数列的前几项，可得前11项和，利用定义，即可求集合P₁₁中元素的个数；
（2）先证S_i（2i+1）=-i（2i+1），可得当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P_l中元素的个数为i²+j，即可求集合P₂₀₀₀中元素的个数．

解答： （1）解：由数列{a_n}的定义得：a₁=1，a₂=-2，a₃=-2，a₄=3，a₅=3，a₆=3，a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，a₁₁=5
∴S₁=1，S₂=-1，S₃=-3，S₄=0，S₅=3，S₆=6，S₇=2，S₈=-2，S₉=-6，S₁₀=-10，S₁₁=-5
∴S₁=1•a₁，S₄=0•a₄，S₅=1•a₅，S₆=2•a₆，S₁₁=-1•a₁₁
∴集合P₁₁中元素的个数为5；
（2）证明：用数学归纳法先证S_i（2i+1）=-i（2i+1）
事实上，
①当i=1时，S_i（2i+1）=S₃=-1•（2+1）=-3故原式成立
②假设当i=m时，等式成立，即S_m（2m+1）=-m•（2m+1）故原式成立
则：i=m+1，时，S(m+1)[2(m+1)+1}=S(m+1)(2m+3}=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-（2m²+5m+3）=-（m+1）（2m+3）
综合①②得：S_i（2i+1）=-i（2i+1）于是S(i+1)[2i+1}=Si(2i+1}+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1)
由上可知：S_i（2i+1}是（2i+1）的倍数
而a_{（i+1）（2i+1}+j}=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S_{i（2i+1）+j}=S_i（2i+1）+j（2i+1）是a_{（i+1）（2i+1}+j}（j=1，2，…，2i+1）的倍数
又S_{（i+1）[2i+1}}=（i+1）（2i+1）不是2i+2的倍数，
而a_{（i+1）（2i+1}+j}=-（2i+2）（j=1，2，…，2i+2）
所以S_{（i+1）（2i+1）+j}=S_{（i+1）（2i+1）}-j（2i+2）=（2i+1）（i+1）-j（2i+2）不是a_{（i+1）（2i+1}+j}（j=1，2，…，2i+2）的倍数
故当l=i（2i+1）时，集合P_l中元素的个数为1+3+…+（2i-1）=i²
于是当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P_l中元素的个数为i²+j
又2000=31×（2×31+1）+47
故集合P₂₀₀₀中元素的个数为31²+47=1008．

点评：本题主要考查集合、数列的概念与运算、计数原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力．