Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2 （n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式，并求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，整理可得2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，依题意即可证得数列{b_n}是等差数列；
（2）由（1）知b_n=n=2ⁿa_n，可求得a_n=

n

2n

，利用错位相减法即可求得数列{a_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：在S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2中，令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a₁=

1

2

…1分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，…3分
∴2a_n=a_n-1+（

1

2

）^n-1，…4分
即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…5分
∵b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1（n≥2），．
又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列…7分
（2）解：由（1）知b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴a_n=

n

2n

…9分
T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

…11分
∴

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

…13分
∴T_n=2-

n+2

2n

…14分

点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用，考查等差关系的确定与错位相减法求和的应用，属于中档题．