Question

如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P是底面ABCD上的动点，Q是线段DC上的动点，且四面体A₁B₁PQ的体积为

1

8

，则P的轨迹为（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：探究型

分析：首先求出三角形A₁B₁Q的面积，把四面体A₁B₁PQ的体积转化为三棱锥P-A₁B₁Q的体积，由等积法求出P点到平面A₁B₁Q的距离，则可得到P点的轨迹．

解答： 解：如图，

当Q点在线段DC上运动时，Q到A₁B₁的距离即为两平行线DC与A₁B₁的距离，
∵正方体的棱长为1，∴DC与A₁B₁的距离为

2

．
设Q到A₁B₁的距离为h，则h=

2

，
∴S△A1B1Q=

1

2

A1B1•h=

2

2

．
再设P到平面A₁B₁Q的距离为h′，
∴VA1-B1PQ=VP-A1B1Q=

1

3

S△A1B1Q•h′=

1

3

×

2

2

h′=

1

8

，
∴h′=

3 2

8

＞

1

2

．
∴P的轨迹为平面ABCD内与平面A₁B₁Q平行，且距离为

3 2

8

的一条线段．
故选：A．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了棱锥的体积公式，训练了“等积法”，是中档题．