Question

20．观察下列不等式：
1+$\frac{1}{2^2}＜\frac{3}{2}$，
1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}＜\frac{5}{3}$，
1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^2}＜\frac{7}{4}$，
1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}＜\frac{9}{5}$
…
按此规律，第n个不等式为1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$．

Answer 1

分析 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式

解答 解：由已知中的不等式
1+$\frac{1}{2^2}＜\frac{3}{2}$，
1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}＜\frac{5}{3}$，
1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^2}＜\frac{7}{4}$，
1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}＜\frac{9}{5}$
…
得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方
右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，
故可以归纳出第n个不等式是1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$，（n≥2），
故答案为：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$

点评 本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式．