Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+a
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调减区间，
（Ⅱ）根据导数和函数的最值关系以及函数端点值，即可求出函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x+a
∴f′（x）=x²+2x-3，
令f′（x）=0，解得x=-3，或x=1，
由f′（x）＜0，得-3＜x＜1，
∴f（x）的减区间是（-3，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当f′（x）＞0，得x＜-3或x＞1，函数单调递增，
∴f（x）在[-2，1）上为减函数，在（1，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{3}$+1-3+a=2，
解得a=$\frac{11}{3}$
∴f（-2）=-$\frac{8}{3}$+4+6+$\frac{11}{3}$=11，f（2）=$\frac{8}{3}$+4-6+$\frac{11}{3}$=$\frac{13}{3}$，
∴f（x）_max=11

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与闭区间上的最值问题，准确求导，弄清导数与函数性质间的关系是解题关键．