Question

10．用g（n）表示自然数n的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，g（9）=9，10的因数有1，2，5，10，g（10）=5，那么g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2²⁰¹⁶-1）=（　　）

• A． $\frac{4}{3}$×4²⁰¹⁵+$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$×4²⁰¹⁵-$\frac{1}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$×4²⁰¹⁶+$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$×4²⁰¹⁶+$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2²⁰¹⁶-1）．

解答 解：由g（n）的定义知g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n
令f（2016）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2²⁰¹⁶-1）
则f（2017）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2²⁰¹⁷-1）
=1+3+…+（2²⁰¹⁷-1）+g（2）+g（4）+…+g（2²⁰¹⁷-2）
=2²⁰¹⁶[1+（2²⁰¹⁷-1）]×$\frac{1}{2}$+g（1）+g（2）+…+g（2²⁰¹⁷-2）=4²⁰¹⁶+f（2016）
即f（2017）-f（2016）=4²⁰¹⁶，
分别取n为1，2，…，n并累加得f（2017）-f（1）=4+4²+…+4²⁰¹⁶=$\frac{4×（1-{4}^{2016}）}{1-4}=\frac{4}{3}（{4}^{2016}-1）$，
又f（1）=g（1）=1，所以f（2017）=$\frac{4}{3}$（4²⁰¹⁶-1）+1
所以f（2016）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2²⁰¹⁶-1）=$\frac{4}{3}$（4²⁰¹⁵-1）+1=$\frac{4}{3}$×4²⁰¹⁵-$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式、逐差累加的方法，是中档题．