Question

给出下列命题：
①3≥3
②x+

1

x

≥2 (x∈R )
③“若x＞3，则x²＞9”的否命题
④“若a≤1，则方程ax²+2x+1=0至少有一个负根”的逆否命题．
则其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型

分析：由p或q型命题的真假判断①；
利用基本不等式求最值判断②；
举反例判断命题③的否命题的真假；
分类讨论说明命题④为真命题，得到其逆否命题为真命题．

解答： 解：对于①，∵3=3成立，
∴3≥3成立．∴命题①正确；
对于②，x=0时不等式左边无意义，且当x＜0时，x+

1

x

=-[-x+

1

-x

]≤-2，
∴命题②不正确；
对于③，命题“若x＞3，则x²＞9”的否命题为：“若x≤3，则x²≤9”．
-4≤3，但（-4）²=16＞9，∴命题③的否命题为假命题；
对于④“若a≤1，则方程ax²+2x+1=0至少有一个负根”的逆否命题的正误判断如下：
当a=1时，方程ax²+2x+1=0有一个根-1，a=0时，方程ax²+2x+1=0有一个根-

1

2

，
当0＜a＜1时，△=4-4a＞0，x1+x2=-

2

a

＜0，方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，
当a＜0时，△=4-4a＞0，x1x2=

1

a

＜0，方程ax²+2x+1=0有一个负根，
∴命题④为真命题，则命题④的逆否命题为真命题．
∴正确命题的序号为①④．
故答案为：①④

点评：本题考查命题的真假判断，考查基本不等式求最值，训练了复合命题的真假判断，训练了举反例法否定一个命题的正确性，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．