Question

在数列{a_n}（n∈N^*）中，其前n项和为S_n，满足2Sn=n-n2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=n•2an，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2Sn=n-n2，求出2Sn-1=n-1-(n-1)2(n≥2)，再由a_n=S_n-S_n-1，能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=n•21-n，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题设得：2Sn=n-n2，
∴2Sn-1=n-1-(n-1)2(n≥2)
∴a_n=S_n-S_n-1=1-n（n≥2）…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=0，
∴数列{a_n}是a₁=0为首项、公差为-1的等差数列，
∴a_n=1-n．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=n•21-n，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1•2⁰+2•2^-1+3•2^-2+4•2^-3+…+n•2^1-n2-1•Tn=1•2-1+2•2-2+3•2-3+4•2-4+…+(n-1)•21-n+n•2-n…（8分）
两式相减得：

1

2

Tn=1+2-1+2-2+2-3+2-4+…+21-n-n•2-n
=2-2•(

1

2

)n-n•(

1

2

)n=2-(n+2)(

1

2

)n．
∴Tn=4-2(n+2)(

1

2

)n．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．