Question

6．函数f（x）=|2x-1|+|2x+1|（x∈R）．
（1）求不等式f（x）＜4的解集M；
（2）若a∈M，b∈M，求证：|$\frac{a+b}{1+ab}$|＜1．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得等式f（x）＜4的解集为M．
（2）当a、b∈M时，可得 a²＜1，b²＜1，可得（a²-1）（1-b²）＜0，即a²+b²＜1+a²b²，从而证得|a+b|＜|1+ab|成立，从而证出结论．

解答 解：（1）函数f（x）=|2x-1|+|2x+1|=2（|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|）
表示数轴上的x对应点到-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$对应点的距离之和，
而1和-1对应点到-$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$对应点的距离之和正好等于2，
故不等式f（x）＜4即|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|＜2的解集为M=（-1，1）；
（2）当a、b∈M时，
-1＜a＜1，-1＜b＜1，
∴a²＜1，b²＜1，
∴（a²-1）（1-b²）＜0，
即 a²+b²＜1+a²b²，
∴（a+b）²＜（1+ab）²，
∴|a+b|＜|1+ab|，
∴|$\frac{a+b}{1+ab}$|＜1．

点评 本题主要考查绝对值的意义，用综合法证明不等式，属于中档题．