Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≤-1}\\{x，-1＜x＜1}\\{1，x≥1}\end{array}\right.$，函数g（x）=ax²-x+1，若函数y=f（x）-g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 化函数y=f（x）-g（x）恰好有2个不同零点为函数y=f（x）+x-1与函数y=ax²的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，讨论a＞0，a＜0，从而可得a的范围．

解答 解：令y=f（x）-g（x）=0，
即有f（x）-（ax²-x+1）=0，
则f（x）+x-1=ax²，
而f（x）+x-1=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x≤-1}\\{2x-1，-1＜x＜1}\\{x，x≥1}\end{array}\right.$，
作函数y=f（x）+x-1与函数y=ax²的图象如右，
当a＜0时，y=f（x）+x-1与y=ax²的图象恒有两个交点；
当a＞0时，当y=ax²的图象过点（1，1），可得a=1，
由图象可得0＜a＜1时，y=f（x）+x-1与y=ax²的图象有两个交点．
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1），
故答案为：（-∞，0）∪（0，1）．

点评 本题考查分段函数的运用：求函数的零点，考查数形结合和转化思想的运用，注意函数的零点与函数的图象的关系，属于中档题．