Question

15．已知函数f（x）=|2x-1|-|2x-2|，且f（x）的最大值记为k．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）是否存在正数a、b，同时满足a+2b=k，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=4-$\frac{1}{ab}$？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式组的解集取并集即可；（Ⅱ）求出k=1，得到a+2b=1，结合基本不等式的性质判断即可．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≥x，
即为|2x-1|-|2x-2|-x≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x+2x-2-x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜1}\\{2x-1+2x-2-x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x-1-2x+2-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≤-1或x∈∅或x=1，
综上，不等式的解集是{x|x≤-1或x=1}；
（Ⅱ）f（x）=|2x-1|-|2x-2|≤|2x-1-2x+2|=1，
当且仅当x≥1时取“=”，
故k=1，
假设存在符合条件的正数a，b，则a+2b=1，
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{a+2b}{ab}$=2（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=8+$\frac{8b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥8+2$\sqrt{\frac{8b}{a}•\frac{2a}{b}}$=16，
当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时取“=”号，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{ab}$的最小值是16，
即$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥16-$\frac{1}{ab}$＞4-$\frac{1}{ab}$，
∴不存在正数a、b，同时满足a+2b=k，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=4-$\frac{1}{ab}$同时成立．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．