题目内容

16．某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额每满500元，可获得一次抽奖机会，即设消费金额x元，x∈[500，1000）可抽奖1次，x∈[1000，1500）可抽奖2次，x∈[1500，2000）可抽奖3次，以此类推．
抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取）．
第一种抽奖方式：若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．
第二种抽奖方式：抽到红球，奖金0元；抽到白球，获得奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元．
（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获得奖金70元的概率
（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利．

分析 （1）X=2000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白，由此能求出获得奖金70元的概率．
（2）X=1200可抽奖2次，用第一种抽奖方式，获得奖金ξ可能为20，30，40，50，60，80，分别求出概率，得到数学期望Eξ=40．用第二种抽奖方式，获得奖金η可能为0，50，100，150，200，分别求出概率，得到数学期望Eη=$\frac{700}{9}$．从而求出第二种抽奖方式更有利．

解答 解：（1）X=2000可抽奖4次，得奖金70元，
共有两种情形：抽得3红1黑；抽得1红3白，
因此所求事件的概率为$P=\frac{C_4^3C_2^1+C_4^1C_3^3}{C_9^4}=\frac{2}{21}$
（2）X=1200可抽奖2次，
用第一种抽奖方式，获得奖金ξ可能为20，30，40，50，60，80，
$P（ξ=20）=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=30）=\frac{C_4^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{3}$，
$P（ξ=40）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}$，
$P（ξ=50）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{2}{9}$，
$P（ξ=60）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=80）=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{36}$，
随机变量ξ的分布列

ξ203040506080
P$\frac{1}{6}$$\frac{1}{3}$$\frac{1}{12}$$\frac{2}{9}$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{36}$
期望Eξ=$\frac{20}{6}+\frac{30}{3}+\frac{40}{12}+\frac{100}{9}+\frac{60}{6}+\frac{80}{36}$=40．
用第二种抽奖方式，获得奖金η可能为0，50，100，150，200，
$P（η=0）=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（η=50）=\frac{C_4^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{3}$，
$P（η=100）=\frac{C_3^2+C_4^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{11}{36}$，
$P（η=150）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{1}{6}$，
$P（η=200）=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{36}$，
随机变量的分布列
η050100150200
P$\frac{1}{6}$$\frac{1}{3}$$\frac{11}{36}$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{36}$
期望Eη=0+$\frac{50}{3}$+$\frac{1100}{36}$+$\frac{150}{6}$+$\frac{200}{36}$=$\frac{700}{9}$．
∴第二种抽奖方式更有利．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列性质的合理运用．

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