Question

10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ-4ρsinθ=4
（1）若α=$\frac{π}{4}$，求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程：
（2）若直线l与曲线C交于M、N两点，且|MN|=12，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ求出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）求出ρ₁+ρ₂=$\frac{4sinα}{{cos}^{2}α}$，ρ₁ρ₂=-$\frac{4}{{cos}^{2}α}$，根据|MN|=12，求出直线l的斜率即可．

解答 解：（1）由题意，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
可得直线l是过原点的直线，
故其极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
又ρ²cos²θ-4sinθ=4，
故x²=4y+4；
（2）由题意，直线l的极坐标为θ=α（ρ∈R），
设M、N对应的极径分别为ρ₁，ρ₂，
将θ=α（ρ∈R）代入曲线C的极坐标可得：
ρ²cos²α-4ρsinα-4=0，
故ρ₁+ρ₂=$\frac{4sinα}{{cos}^{2}α}$，ρ₁ρ₂=-$\frac{4}{{cos}^{2}α}$，
∴|MN|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{{{（ρ}_{1}{+ρ}_{2}）}^{2}-{{4ρ}_{1}ρ}_{2}}$=$\frac{4}{{cos}^{2}α}$，
故$\frac{4}{{cos}^{2}α}$=12，则cos²α=$\frac{1}{3}$，
故直线l的斜率是±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标和直角坐标方程的转化，考查直线的斜率，是一道中档题．