Question

8．已知函数f（x）=cos（2x$-\frac{π}{3}$）-2sin（x$+\frac{π}{4}$）cos（x$+\frac{π}{4}$）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），求出函数的最小正周期即可；
（2）先求出2x-$\frac{π}{6}$的范围，再求出值域．

解答 解：（1）因为f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）
=cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$+2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{π}{2}$-x-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
所以函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）因为x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，由正弦函数的性质得值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变形以及三角函数的性质运用；关键是正确化简三角函数式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用简单三角函数性质解答．