Question

13．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且过点$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求E的方程；
（2）是否存在直线l：y=kx+m（k＞0）与E相交于P，Q两点，且满足①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x²+y²=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件推出a，b的方程，求解可得椭圆方程．
（2）把y=kx+m代入E的方程得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理，通过k_OP+k_OQ=2，推出m²+k=1．△=16（4k²+k ）．以及直线与圆相切，求解k即可．

解答 解：（1）由已知得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，
解得 a²=4，b²=1，∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$…（4分）
（2）把y=kx+m代入E的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$ ①
由已知得k_OP+k_OQ=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）{x}_{2}+（k{x}_{2}+m）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2，
∴2（k-1）x₁x₂+m（x₁+x₂）=0．②…（6分）
把①代入②得$\frac{8（k-1）（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}-\frac{8k{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，即m²+k=1．③又△=16（4k²-m²+1）=16（4k²+k ）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{4{k^2}+k＞0}\\{{m^2}=1-k≥0}\end{array}}\right.$得k＜-$\frac{1}{4}$或0＜k≤1．…（8分）
由直线l与圆x²+y²=1相切，则$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，④…（10分）
③④联立得k=0（舍去）或k=-1．∴m²=2．
∴直线l的方程为y=-x±$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，存在性问题的解决方法，考查设而不求，转化思想的应用．