Question

函数g（x）=ax³+bx²+cx及其g′（x）的图象分别如图1、2所示．若f（x）=g（x）-mg′（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的综合应用

分析：根据g（x）和g′（x）的图象可知x=1是g（x）的极大值点，所以g（1）=

5

6

．并且1，2是方程g′（x）=0的两个实数根，这样便能求出a，b，c，从而求出f（x）．根据f（x）在[2，+∞）上单调递增，便有f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，从而求出m的取值范围．

解答： 解：由g（x）和g′（x）的图象可知x=1是g（x）的极大值点，1，2是g′（x）=0的二根；
又g′（x）=3ax²+2bx+c，且g （1）=

5

6

；
所以，有：

1+2=- 2b 3a 1×2= c 3a a+b+c= 5 6

，解得：

a= 1 3 b=- 3 2 c=2

．
∴g （x）=

1

3

x3-

3

2

x2+2x；
∴f （x）=

1

3

x3-(

3

2

+m)x2+(2+3m)x-2m．
则f′（x）=x²-（3+2m）x+3m+2≥0在[2，+∞）上恒成立．
∵△=（3+2m）²-4（3m+2）=4m²+1＞0；
∴

3+2m 2 ≤2 f′(2)≥0

；
解得：m≤0，所以m的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题考查函数图象和导函数图象的关系：能看出有无极值，是极大值还是极小值；导函数的符号和原函数的单调性保持一致；导函数的符号和函数单调性的关系．