题目内容
已知a＞0，b＞0，m＞0，n＞0，求证：am+n+bm+n≥ambn+anbm．
考点：不等式的证明
专题：不等式的解法及应用
分析：直接利用作差法，通过因式分解，然后通过a、b的大小讨论，证明不等式即可．
解答：
证明：am+n+bm+n-（ambn+anbm）
=（am+n-ambn）-（anbm-bm+n=am（an-bn）-bm（an-bn）=（am-bm）（an-bn）．
当a＞b时，am＞bm，an＞bn，∴（am-bm）（an-bn）＞0；
当a＜b时，am＜bm，an＜bn，∴（am-bm）（an-bn）＞0；
当a=b时，am=bm，an=bn，∴（am-bm）（an-bn）=0．
综上，（am-bm）（an-bn）≥0，即am+n+bm+n≥ambn+anbm．
=（am+n-ambn）-（anbm-bm+n=am（an-bn）-bm（an-bn）=（am-bm）（an-bn）．
当a＞b时，am＞bm，an＞bn，∴（am-bm）（an-bn）＞0；
当a＜b时，am＜bm，an＜bn，∴（am-bm）（an-bn）＞0；
当a=b时，am=bm，an=bn，∴（am-bm）（an-bn）=0．
综上，（am-bm）（an-bn）≥0，即am+n+bm+n≥ambn+anbm．
点评：本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
“a2+b2=0”是“a=0或b=0”的（ ）
| A、充分不必要条件 |
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| C、充要条件 |
| D、既不充分又不必要的条件 |
等轴双曲线的一个焦点是F1（-6，0），则它的标准方程是（ ）
| A、x2-y2=-18 |
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