Question

9．设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数y=f（x）在x=1处与直线y=-1相切．
（Ⅰ） 求实数a，b的值；
（Ⅱ） 求函数y=f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，根据函数y=f（x）在x=1处与直线y=-1相切，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-2bx$…（1分），
∵函数y=f（x）在x=1处与直线y=-1相切．
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=a-2b=0\\ f（1）=-b=-1\end{array}\right.$…（3分），
解得：a=2，b=1…（4分），
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f（x）=2lnx-{x^2}，f'（x）=\frac{2}{x}-2x=\frac{{2（{1-{x^2}}）}}{x}$．
令f（x）=0，∵x＞0，∴x=1…（5分），
当$x∈（{\frac{1}{e}，1}），f'（x）＞0，x∈（{1，e}），f'（x）＜0$，
∴x=1为函数y=f（x）的极大值点，…（8分），
又$f（1）=-1，f（{\frac{1}{e}}）=-2-\frac{1}{e^2}＜-1$，f（e）=2-e²＜-1，
∴[f（x）]_max=f（1）=-1…（10分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．