题目内容
17．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F作直线$x+y-\sqrt{2}=0$交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为$\frac{1}{2}$．（1）求M的方程；
（2）设直线x-my+1=0交椭圆M于C，D两点，判断点$G（-\frac{9}{4}，0）$与以线段CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．
分析 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．将A、B代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相减可得：a2=2b2，又c=$\sqrt{2}$，a2=b2+c2，解得即可得出．
（2）设点C（x1，y1），D（x2，y2），则$\overrightarrow{GC}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{GD}$=$（{x}_{2}+\frac{9}{4}，{y}_{2}）$．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2-2my-3=0，利用根与系数的共线及其数量积运算性质即可判断出结论．
解答 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
则x0=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．
将A、B代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
相减可得：（1）-（2）得到$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-1，
又OP的斜率为$\frac{1}{2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴a2=2b2，又c=$\sqrt{2}$，a2=b2+c2，
解得a=2，b2=2．
得到标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）设点C（x1，y1），D（x2，y2），则$\overrightarrow{GC}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{GD}$=$（{x}_{2}+\frac{9}{4}，{y}_{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为（m2+2）y2-2my-3=0，
∴y1+y2=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y1y2=$\frac{-3}{{m}^{2}+2}$，
从而$\overrightarrow{GC}•\overrightarrow{GD}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}）（{x}_{2}+\frac{9}{4}）$+y1y2=$（m{y}_{1}+\frac{5}{4}）$$（m{y}_{2}+\frac{5}{4}）$+y1y2=（m2+1）y1y2+$\frac{5}{4}m（{y}_{1}+{y}_{2}）$+$\frac{25}{16}$=$\frac{-3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{5{m}^{2}}{2（{m}^{2}+2）}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{17{m}^{2}+2}{16（{m}^{2}+2）}$＞0．
又$\overrightarrow{GC}$，$\overrightarrow{GD}$不共线．
∴∠AGB为锐角．
故点G在以AB为直径的圆外．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数的共线、数量积运算性质、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | INPUT“MATH=”；a | B． | PRINT“MATH=”；a+b+c | ||
| C． | y=b-c | D． | a+b=c |
| A． | $-\frac{π}{4}$ | B． | $-\frac{π}{2}$ | C． | $\frac{π}{8}$ | D． | $\frac{5π}{4}$ |
| A． | （1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2] | B． | [$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，e2-2] | C． | （1，e2-2] | D． | [e2-2，+∞） |
（Ⅰ） 求实数a，b的值；
（Ⅱ） 求函数y=f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值．
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{2}{3}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |